Почему мы неправильно считаем в спортивном бридже, или «нормальная» игра в бридж.
Немного очевидностей. Как мы считаем match point в бридже? Выделяют два алгоритма подсчета:
«Игра на среднее» (imp)
«Игра на Макс»
Разберемся, как устроены эти подсчеты.
Подсчет match point при «Игре на среднее».
Давайте договоримся о следующих обозначениях:
N – Количество записей в протоколе
x – Протокол. Набор записей в протоколе.
x_i – Результат
При игре на среднее определяется показатель «цена сдачи», как среднее арифметическое всех записей :
μ=1/N ∑▒x_i
Тогда результат пары – это отклонение полученного результата в сдаче от цены сдачи. Такой результат получил название match point:
〖mp〗_i=x_i-μ
Далее mp переводят по какой-то совершенно дикой формуле в так называемые international match point (imp). Смысл этих преобразований в том, чтобы избавиться от диких чисел, и немного сгладить большие выигрыши. Саму формулу мне найти не удалось, но вот что подсказывает регрессионный анализ таблицы imp’ов.
Подсчет match point при «Игре на МАКС».
При «Игре на Макс» используется немного другой алгоритм. Сначала все записи упорядочиваются по возрастанию, и каждой записи присваивается ранг r_i – порядковый номер. В случае равенства записей, все такие записи получают среднеарифметический ранг.
Ценой сдачи принимается среднее арифметическое всех рангов:
r ̅=1/N ∑▒r_i =(N+1)/2
Тогда match point в этой игре присваивается по формуле:
〖mp〗_i=r_i-r ̅
Заметим, что формула начисления match point в «Игре на Макс» аналогична формуле для начисления match point в «Игре на среднее», только вместо самих значений используется ранг записи. У этой формулы есть и еще один недостаток – она зависит от количества записей в протоколе, и если случается так, что какую-то сдачу надо исключить из расчетов (сдача «испорчена»), то результаты становятся несравнимыми. Для решения этой проблемы применяют корректировку, а результат выражают в процентах:
%=1/2+〖mp〗_i/(N-1)
Теперь, в отличие от «Игры на среднее», осталось не просуммировать mp, а усреднить %, полученные парой в каждой сдаче.
«Нормальная игра»
Существование двух разновидностей игры в бридж приводит к разным стратегиям игры. Например:
При «Игре на среднее» становится важным ставить и реализовывать гейма и шлема, в то время как при «Игре на Макс» становится существенной зона частичной записи.
При игре на среднее записи 400 и 420 имеют разницу в 0imp, а при «Игре на Макс» это разные ранги.
Разные стратегия виста – при «Игре на Макс» не столь важно посадить контракт, сколь не дать лишнюю взятку. Ну и так далее…
Но самый главный недостаток тот, что все сдачи разные, и в каждой сдаче решаются разные проблемы, и стоимость этих проблем разная. Это означает, что сами по себе сдачи между собой не сравнимы, а значит и суммировать полученные mp не корректно. Что делать?
Помните анекдот про то, что средняя температура по больнице составляет 36.6°C. Анекдотичность ситуации возникает из-за того, что если замерять температуру у здоровых людей, то это значение не сильно будет отличаться от средней. А вот у реальных людей в больнице она сильно должна отличаться. Так появляется мера отклонения от середины.
В качестве такого показателя использует понятие дисперсии, или среднеквадратического отклонения :
D=1/N ∑▒〖(x_i-μ
〗^2
Или стандартного отклонения :
σ=√D
Чем выше отклонение реальных данных от середины, тем выше . А если все данные одинаковые, то σ=0.
Чем сложнее проблема, тем больше будет разброс записей в протоколе. Чем легче проблема – тем меньше будет разброс.
Вот теперь мы можем все сдачи уровнять с точки зрения разброса, и сказать, что для победы важны все проблемы, и они имеют одинаковый вес. Match Point в такой системе вычисляются по следующей формуле:
〖mp〗_i=(x_i-μ
/σ
Для этой формулы не важно, как при подсчете в «Игре на среднее», количество записей, но важно обнаружение проблемы в сдаче и ее решение. Все сдачи становятся в статистическом смысле одинаковыми. И никаких дополнительных преобразований не требуется. Ценой сдачи мы будем называть пару (,
. Результат турнира есть простая сумма mp.
Такая процедура хорошо известна в мире статистики и методах извлечения знаний из данных. Она называется «нормализацией» данных в том смысле, что у величины:
z_i=(x_i-μ
/σ
среднее значение равно нулю, а мера разброса σ=1.
Именно так корректно обрабатывать статистическими методами протокол в спортивном бридже, а такую разновидность игры предлагаю назвать «Нормальной игрой», или «Нормализованной игрой», или «Z-игрой», или «Игрой на разброс (стандартное отклонение)».
Особенности «Нормальной игры» в командном чемпионате
В командном турнире, когда одна команда играет против другой и в протоколе есть только две записи приведенная формула вырождается в простой подсчет: 1, где +1 – это победа, -1 – поражение, 0 – ничья. Судя по наблюдению в BBO, очень распространенная игра.
Однако если играется команда против команды, но эту же сдачу играют и другие команды, то есть в протоколе сдачи более одной записи, то расчет нормализации может дать более интересные результаты.
Заметим, что в традиционном командном турнире match point вычисляется как разница между результатами пар, находящихся в одной команде, но сидящих на разных линиях NS и EW. А в случае наличия понятия стоимости сдачи µ, эту величину можно добавить и вычесть:
mp=x_NS-x_EW=(x_NS-μ
+(μ-x_EW )
Если для каждой сдачи мы можем высчитать цену сдачи: (,
, то результат команды будет сумма match point для двух пар, сидящих на разных линиях:
mp=〖mp〗_NS+〖mp〗_EW
Таким образом, командный турнир – это разновидность парного турнира, в которой за одну команду играет две пары, одна из которых всегда сидит на NS, а другая на EW, при чем они не играют друг против друга.
В таком понимании командного турнира нет необходимости, что бы пары из одной команды находились против пар из другой команды одновременно. В этом природа Butler’s Formula.
Примеры:
ПРОБЛЕМА: поставить гейм
N= 12 Игра на среднее Игра на МАКС
Result mp imp Rank mp % z
1 450 216 5 12.0 5.5 100.00% 1.40
2 430 196 5 11.0 4.5 90.91% 1.27
3 420 186 5 10.0 3.5 81.82% 1.21
4 400 166 4 9.0 2.5 72.73% 1.08
5 170 -64 -2 5.5 -1.0 40.91% -0.42
6 170 -64 -2 5.5 -1.0 40.91% -0.42
7 170 -64 -2 5.5 -1.0 40.91% -0.42
8 170 -64 -2 5.5 -1.0 40.91% -0.42
9 170 -64 -2 5.5 -1.0 40.91% -0.42
10 170 -64 -2 5.5 -1.0 40.91% -0.42
11 140 -94 -3 2.0 -4.5 9.09% -0.61
12 -50 -284 -7 1.0 -5.5 0.00% -1.84
µ= 234 0 0 6.5 0.0 50% 0.00
= 154 154 4 3 3 31% 1
ПРОБЛЕМА: овер
N= 12 Игра на среднее Игра на МАКС
Result mp imp Rank mp % z
1 450 32 1 12.0 5.5 100.00% 2.00
2 430 12 0 10.0 3.5 81.82% 0.74
3 430 12 0 10.0 3.5 81.82% 0.74
4 430 12 0 10.0 3.5 81.82% 0.74
5 420 2 0 6.5 0.0 50.00% 0.11
6 420 2 0 6.5 0.0 50.00% 0.11
7 420 2 0 6.5 0.0 50.00% 0.11
8 420 2 0 6.5 0.0 50.00% 0.11
9 400 -18 -1 2.5 -4.0 13.64% -1.16
10 400 -18 -1 2.5 -4.0 13.64% -1.16
11 400 -18 -1 2.5 -4.0 13.64% -1.16
12 400 -18 -1 2.5 -4.0 13.64% -1.16
µ= 418 0 0 6.5 0.0 50% 0.00
= 16 16 1 3 3 31% 1
Проблема «выбросов»
При использовании указанного алгоритма остро встает вопрос о «выбросах», когда в протоколе оказывается «необычная» запись «необычного» контракта. Предложенный алгоритм, ка и алгоритм «Игры на среднее», очень чувствителен к таким записям.
В «Игре на среднее» эта проблема решается через вычисление урезанного среднего, когда из протокола выбрасываются записи 25% наименьших и 25% наибольших.
Однако для предложенного алгоритма оценки стоимости сдачи он не подходит – слишком много теряется информации для расчета . Для решения этой проблемы нам понадобится алгоритм нахождения «выбросов» или «необычных» записей. Как только такие записи будут найдены, то для расчетов стоимости сдачи они исключаются, а при невозможности определить для таких сдач match point присуждается искусственный результат в mp.
Эта тема требует отдельно обсуждения. Предлагаю следующий алгоритм:
Устанавливается предельно допустимое значение mp, которое можно получить в сдаче. Например, таким значением может быть число =2.58 (вариант: =2.00). Назовем такое число «надежностью».
Осуществляется поиск сдач, в которых алгоритм начислит mp более чем «надежное» число. Т.е. все сдачи, для которых
|x_i-μ|/σ>α
признаются «выбросами», или «необычными» записями в протоколе.
Все «выбросы» или «необычные записи» удаляются из протокола и повторно вычисляется стоимость сдачи (µ,
Если 0, то алгоритм работает далее. В этом случае «выброс» получит еще больший + (-), чем в обычном алгоритме, потому что при удалении «выбросов» снижается.
Если «выброс» был один, а все остальные записи были одинаковые, то в результате может оказаться, что =0. Тогда для всех таких «обычных» записей по алгоритму начисляется 0mp, а для выбросов mp.
Для того, чтобы люди не сильно расстраивались, когда разыгрывают кью-бид и не выбывали из гонки, можно всегда для «выбросов» устанавливать mp. В таком случае параметр приобретает смысл предельно допустимого выигрыша (проигрыша) в сдаче. И его можно подобрать не из теоретических, а из практических результатов.
